暇人大学放浪記

モラトリアムを持て余した暇人が日々起こった出来事に対する所感を徒然に書いていきます。

お題目

今年の京都大学の整数問題が受験生をなめている件について.

 

 

はじめに

  どうもお久しぶりです.春休みですね.だからと言ってぼくはこれと言って暇だと言うわけではありませんでした.

 まぁ,そんな近況はさておき,最近国立の入試が終わりました.大学を入学してしまえば受験問題なんて何の役にも立たないものだとは思いますが,呆けた脳みそを動かすには少しは薬になるのではないかと思います.

 そんなこともあり,気になった問題だけを今年も数問解いてみました.そしたら,意外や意外.去年と今年の整数問題の答えがまるっきり一緒だと言う事に気が付きました.これは京都大学がついに入試問題に手を抜くようになってしまったと言う事なのでしょうか?(そんなことはないって分かってるよー.)この事実を早く周知せねばならない.そして,俺ははてなブログを使って早くTeXが打てるようにならなくてはいけない.そういう多数の欲望と需要が混ざり合った結果この記事を書くことにしました.

 まぁ,そういうことで,今年の入試問題と解答(俺が作った奴だからあってるとは限らないし,クソセンス悪い可能性ある.)を載せてみようかなーって思いました.ちなみに,サークルの後輩にも解かせたのでそちらの別解も(無断で)載せました.気合い入れて今回は入試問題と同じ全角ピリオドと全角カンマの文章でお届けするぜ!!!

 正直かったるい人は解答とか見なくていいと思います.

2016年度の整数問題

問題

 まずは問題から.

{素数p,qを用いて,}

{p^q+q^p}

{と表される素数をすべて求めよ.}

解答

{p,qの偶奇が一致する場合を考える.}

{p,qともに偶数の時をまず考える.}

{偶数の素数は2しかない.}

{この時2^2+2^2=8より不適.}

{よって偶奇が一致する時はともにp,qは奇数である.}

{p,qともに奇数の時}

{奇数は何乗しても奇数なので,}

{p^q+q^pは(奇数)+(奇数)となり,}

{値は(偶数)になる.そのような値で素数は2だけである.}

{又,最小の奇数の素数は3なので,}

{p^q+q^p \geq 3^3+3^3 \geq 2であり不適.}

{よって,p,qともに偶奇が一致することはない.}

{なので,p,qいずれかが偶数素数の2を取る.}

{便宜上p=2として考える.}

{この時満たすべき式は,}

{2^q+q^2となる.}

{これが素数となる時を考えればよい.}

{ここから以下の議論では3を法として考える.}

{q=0の時}

{値は2^0+0^2=1である.}

{q=1の時}

{値は2^q+1^2である.}

{qは奇数なので,2^q=2である.}

{よって2^q+1^2=2+1=0となる.}

{よってこの時の取り得る値は3である.}

{しかし,q \geq 3より,}

{2^q+q^2 \geq 3なので不適.}

{q=2の時}

{値は2^q+2^2=2+1=0となる.}

{q=1の時と同様の議論により不適である.}

{以上の議論から,q=0の時の素数,}

{つまりは,q=3の時のみ成り立つ.}

{よって求める素数は,(p,q)=(2,3)の時}

{2^3+3^2=17である.}

{QED}

 

 まぁ,ここで必要な情報って{(p,q)=(2,3)}って事だけなんですけどねwww.解答まで載せる必要はなかったんですけど一応.

2017年度の整数問題

問題

{ p,qを自然数,\alpha,\betaを}

{ tan \alpha = \frac{1} {p},tan \beta = \frac{1} {q}}

{を満たすとする.この時}

{tan (\alpha+2\beta) = 2}

{を満たすp,qの組(p,q)をすべて求めよ.}

俺の解答

{tangentの加法定理よりゴリゴリ展開して,}

{tan 2\beta = \frac{2tan \beta} {1-tan^2 \beta} = \frac {\frac {2} {q}} {1-\frac {1} {q^2}} = \frac {2q} {q^2-1}}

{tan (\alpha+2\beta) = \frac {tan\alpha + tan2\beta} {1-tan\alpha tan2\beta} = \frac {\frac{1} {p} + \frac {2q} {q^2-1}} {1- \frac{1}{p} \frac{2q}{q^2-1}}}

{=\frac {q^2-1+2pq} {pq^2-p-2q}=2}

{分母を払って,}

{q^2-1+2pq = 2pq^2-2p-4q  …★}

 

{q^2以外を右辺にもってっちゃいましょう.}

{q^2= 1+2pq^2-2p-4q-2pq }

{= 1 + 2(pq^2-p-2q-2pq)}

{なので,q^2=(奇数)だと分かります.}

{偶奇は自乗しても変わらないので,}

{qが奇数だと分かります.}

 

{また,★をpについて解くと,}

{p = \frac {q^2+4q-1} {2q^2-2q-2} …▲を得ます.}

{pは自然数なので,p \geq 1だから,}

{p = \frac {q^2+4q-1} {2q^2-2q-2} \geq 1}

{これらの分母を払うときに注意して,}

{(分母の正負に注意し場合分けが必要.)}

{( q^2+4q-1 \geq 2q^2-2q-2 \land 2q^2-2q-2 \geq 0 ) }

{\lor ( q^2+4q-1 \leq 2q^2-2q-2 \land 2q^2-2q-2 \leq 0 )}

{上の条件を満たす奇数の自然数qを探すとq=3を得ます.}

{(詳細な計算は手がつかれたので割愛しました.)}

{よって▲より,p=2を得ます.}

{よって答えは(p,q)=(2,3)だと分かりました.}

{QED}

 

 これで,分かったと思います.どれも答えは,{(p,q)=(2,3)}で一つしかないことに.しかも,「すべて答えろ.」とか言っといて一個しかないことに!!

 学生なめとんのか!!メッチャお茶目やん!って感じでした.まぁこんなしょうもない事を言いたかっただけなんですけどね.

 偶数,奇数の議論は,実際答え見つけるときに結構役に立つ情報でした.解答は答え見つけて逆算してこじつけるって作り方です.(実際は(笑).)

 

後輩の解答

 実は,この問題後輩にも解かせてみました.「文理共通問題だから文系でも解けるデー.」って文学部と法学部の後輩を煽りました(笑).

 すると文学部の子が「僕もむかしは数学が得意だったんで.」とかプライドだして張り合ってきました.そして,この問題を解き出しました.しかし,数分後綺麗にドツボりました.(ざまみろって感じですね.)それを見た法学部の後輩が「貸せ!!」って言って解きました.結局二人ともドツボったのですが,最後は二人で僕のよりもいいであろう解答を出しました.わりと「へーこんな解き方もあんのか.」とか感心したので載せときます.アタマ良いですね.(マジで.)多分こっちが正規解答なんじゃないかと思いました.(良問は別解がよく出るんですかね.)

 

{加法定理まで一緒なので★から始めます.★より,}

{(q^2-1)(2p-1)-2q(p+2)=0}

{(q^2-1)(2p-1)=2q(p+2)…◆}

{ここで左辺の2p-1は奇数,右辺は偶数より}

{q^2-1が(偶数)であり,qは(奇数)である.}

{2(p+2)と2p-1,qとq^2-1は}

{p,qが自然数の時,}

{それぞれ互いに素だから,}

 

{(2p-1は奇数だから,2と互いに素は自明.}

{2p-1=k(p+2) (kは整数)とすると,}

{p=\frac{1+2k}{2-k}=-2+\frac{5}{2-k}}

{pが整数となる時,k=7,-3で}

{p=-1,-3より自然数に反する.}

{また,qとq^2-1も互いに素です.}

{\frac{q^2-1}{q}=q-\frac{1}{q}で}

{明らかに整数にならないからです.)}

 

{q=2p-1…■を得る.よって◆は,}

{(q^2-1)q=2q(p+2)となる.}

{(q^2-1)=2(p+2)より■と合わせて,}

{(p,q)=(2,3)を得ます.}

{QED}

 

 互いに素と言う性質を上手く使っていてとてもシンプル.俺,馬鹿みたいですね(笑).いい解答でした.

 

おわりに

  実は今回はこのはてなブログTeX機能の練習を兼ねて,色々書いてみた次第です.その中で>と連立方程式が僕の実力不足の為書けませんでした.(トラブルシューティングを放棄した.)

 そのため,連立方程式が書けないのは今回どうってことないんですけど,不等号は『<,>』とすべきところを『{\leq,\geq}』としてしまってます.まぁ,気にしないと思うけど注意してください.(はてなブログTeX機能とてもバグが多いのも何とかして欲しい.僕のPCのスペックのせいかな?)

  高度なナンプレって感じでしたね.今回の問題から得られる示唆は,『整数問題でただ一つ答えろ』って問題が出た時,全く分かんなかったら受験生は{(2,3)}って答えておけば部分点もらえるかもしれねーぞってことですね.解答ミスがあったら「あ,こいつ間違えてやがら!バッカでーいww.」ってやさしく見守っておいてくださいね.

詳細

 問題ソース

2016年度理系数学

http://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/16/k01-21p.pdf

2017年度理系数学

http://nyushi.nikkei.co.jp/honshi/17/k01-21p.pdf

 

 

 

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